Das sollte eigentlich ohne Probleme funktionieren. Als erstes würde ich die Switch im Handheld-Modus aktiviert (also Bildschirm an) in die Station stecken. Das sorgt bei mir normalerweise automatisch zum Wechsel. Falls der Bildschirm an bleibt auf der Switch, wechselt die Switch selbst nicht, wenn er dabei schwarz wird, ist die Switch gewechselt, aber etwas mit dem Kabel/TV stimmt nicht.
Du hattest nicht erwähnt, ob die Switch jemals an dem TV funktionierte? Falls oberes klappt, würde ich mal manuell auf den Switchkanal wechseln (also Switch HDMI Kanal) oder das HDMI Kabel an beiden Enden überprüfen/austauschen.
Falls der erste Tipp nicht klappt, liegt das entweder an der Stromversorgung der Switch oder die Dockingstation hat nen Schaden. Guck da mal, ob du was erkennen kannst, zB ob die Switch ordentlich in den USB Stecker in der Switch passt, vielleicht ist da was kaputt. Solltest auch mal gucken, ob die Switch noch normal lädt über USB, der Anschluss selbst könnte auch nen Schaden haben. Am besten in der Dockingstation zuerst (falls da nicht lädt, per direkt Anschluss.